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如何快速解决不定方程问题2021/11/17 0:00:00 | 兴为公考

数量关系对于大部分考生来说都是行测试卷中难度相对较大的一个部分,而对于其中的题目很多都是采用方程法来解决,利用方程解题的核心在于构造等量关系,在列方程的过程中,会出现一类比较特殊的方程——不定方程,不定方程是指未知数的个数多于独立方程个数的一类方程,它的难点往往在于解方程,那接下来就带着大家一起来学习解不定方程的相关方法。

  不定方程的解法一般分为两类,一类是未知数在正整数范围内,通常采用代入排除法、整除、奇偶性、尾数法来解决,另外一类是未知数在任意范围内时,此时采用的方法一般是特值法。下面用例题来具体说明。

  例1、某班给学生分发 54 个苹果,为了保证每人都有,给每个男生分 6 个,每个女生分5 个,正好分完,求有多少个男生?

  A.8 B.6 C.4 D.5

  【答案】C。解析:由题意,等量关系是男女生所分的苹果总量为 54,而想把分到的苹果数量表示出来,还要知道男生和女生各自的人数,所以可以设男女生人数分别为 xy。根据题意,可得 6x+5y=54xy代表人数,那么一定都是正整数。

  方法一,代入排除,把四个选项分别代入到方程中的x,同时要满足y也为正整数,那么只有 C 满足题意。

  方法二,整除法:通过观察方程,我们会发现54 6倍数,6x6的倍数,则5y也是6的倍数,令y=6,可得x=4,满足题意;y=12x为非正整数,不满足题意,随着 y 不断增大 x 为负数,不满足题意,故本题选 C

  方法三,奇偶性:通过观察方程,我们会发现54 为偶数,6x 为偶数,则 5y 为偶数,故y为偶数,令y=2,可得x非整数,不满足题意;y=4,可得x非整数,不满足题意;y=6,可得 x=4,满足题意;y=810 均不满足题意,故本题选 C

  方法四,尾数法:方程中54 尾数为 45y 尾数只能为 0 5,又因为 54 为偶数,6x 为偶数,偶数+偶数=偶数,则 5y 为偶数,故 5y 尾数只能为 0,所以 6x 尾数为4,令x=4,则y=6,满足题意;x=9,则y=0,不满足题意,故本题选 C

  例2、超市将 99 个苹果装进两种包装盒,大包装盒每个装12个苹果,小包装盒每个装5个苹果,共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?

  A.3 B.4 C.7 D.13

  【答案】 D。解析:设大包装盒有 x 个,小包装盒有 y 个,则 12x+5y=99,其中xy 之和为十多个。5y 的尾数只能是 50,那么对应的 12x 的尾数只能为 4 或者 9,而 12x 为偶数,故尾数只能为 4。此时,只有 x=2 或者 x=7 时满足这一条件。当 x=2 时,y=15x+y=17,正好满足条件,y-x=13;x=7 时,y=3x+y=10,不符合条件,故本题选D

  例3、甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔,共花了32元,乙买了4支同样的签字笔、10 支圆珠笔和1支铅笔,共花了 43 元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支,共用多少钱?

  A.21 B.11 C.10 D.17

  【答案】C。解析:根据题意可知,等量关系为两种购买方式所花的钱数已知。那么可以设签字笔、圆珠笔、铅笔的单价分别为 a元、b 元、c 元。根据题意可得3a+7b+c=32;4a+10b+c=43②,此时abc代表单价,可以是任意范围内,所以求解可以采用特值法,首先令其中一个未知数为0,令 b=0,得3a+c=32;4a+c=43,解得a=11c=-1,故所求a+b+c=11+0+(-1)=10.本题选C

  相信通过上面的几道例题,大家对于不定方程在不同范围内的两类解法也有了一定的了解,而要想真正熟练地掌握这种解法,还需要大家在备考期间多多练习,才能掌握其中的关键技巧,希望对大家的备考有所帮助。